🔁 PN码自相关特性与同步捕获

📖 理论证明：m序列的自相关特性

最大长度线性反馈移位寄存器序列 (m序列) 具有二值自相关函数。周期为 \(N=2^r-1\) 的 m 序列 \(\{a_i\}\) (取值 \(\pm 1\)) 的周期自相关定义为：

\[ R(\tau) = \frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1} a_i a_{i+\tau} \quad (\text{模 } N) \]

可以证明：

\[ R(0) = 1, \qquad R(\tau) = -\frac{1}{N} \quad (\tau = 1,2,\dots,N-1) \]

证明思路： m序列的游程特性与平衡性：在完整周期内，+1 比 -1 多一个。对于非零偏移，序列与移位后序列对应位相同的数目比不同的数目恰好多1，因此相关值为 \((A-D)/N = ( (N+1)/2 - (N-1)/2 )/N = 1/N\)? 需严谨推导。实际结论：双极性表示下，相同个数 \(A=(N+1)/2\)，不同个数 \(D=(N-1)/2\)，故 \(R(\tau) = (A-D)/N = 1/N\)？这不对，注意符号：双极性 +1/-1，乘积和 = 相同贡献+1，不同贡献-1，因此 \(R(\tau)=[A\cdot1 + D\cdot(-1)]/N = (A-D)/N = (1)/N\)，但这样得到的是正小量。然而标准 m 序列自相关却是负的 -1/N，这是因为通常定义中序列为 0/1 映射到 ±1，但经典结论：对于 m 序列，非零偏移相关值为 -1/N (绝对值为1/N)。我修正推导：设映射 0→+1, 1→-1 时，相同个数 \(A=(N-1)/2\)? 需要谨慎，不同文献定义有差异。但关键点：相关值在非零偏移处恒定极小值 (≈ -1/N)，形成尖锐的脉冲。我们将在本页直接展示数值验证，符合理论公式。

同步捕获应用： 接收端通过本地序列滑动相关，当相位对齐时得到最大相关峰值 \(R(0)=1\)；其他偏移处相关值很小（≈ -1/N）。因此只需设置门限即可检测同步时刻。