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第13章 通信网的基本知识：M/M/1 排队论与性能分析
泊松到达过程 | 指数服务时间 | 单服务器队列 | 网络拥塞分析
📊 当前配置：λ = 0.50 包/秒，μ = 1.00 包/秒 → ρ = 0.500，系统稳定运行，平均等待时间 = 1.000 秒。
平均队列长度 L = ρ²/(1-ρ)
平均等待时间 W = ρ/(μ-λ)
当前工作点
⚠️ 当 ρ → 1 时，队列长度和等待时间趋于无穷 → 网络拥塞
💡 M/M/1 排队模型原理
M/M/1 队列的假设条件：
- M (Markov)： 到达过程服从泊松分布（到达间隔服从指数分布）
- M (Markov)： 服务时间服从指数分布
- 1： 单个服务器
- 无限缓冲、FIFO 调度、平稳性
关键性能指标：
$$ \text{系统利用率：} \rho = \frac{\lambda}{\mu} $$
$$ \text{平均队列长度：} L_q = \frac{\rho^2}{1-\rho} $$
$$ \text{平均等待时间：} W_q = \frac{\rho}{\mu - \lambda} $$
$$ \text{平均系统时间：} W = \frac{1}{\mu - \lambda} $$
$$ \text{平均系统内顾客数：} L = \frac{\rho}{1-\rho} $$
稳定性条件： 必须满足 $λ < μ$（即 $ρ < 1$），否则队列将无限增长。
⚙️ 工程应用
排队论是通信网络性能评估的核心工具：
- 📡 路由器/交换机： 分析数据包排队时延和缓冲区大小设计。
- 📱 移动通信： 基站呼叫阻塞率分析（Erlang-B 公式）。
- 💾 数据中心： 请求队列长度分析，SLA 保障。
- 📶 WiFi 网络： 多用户接入时的信道竞争分析。
- 🔌 网络规划： 估算所需带宽和服务器数量。
💡 关键洞察： 当 ρ 接近 1 时（利用率接近 100%），
排队时延和队列长度会急剧增加，这是网络拥塞的根本原因。