\[
\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{\infty} |X(f)|^2 df
\]
其中 \(x(t)\) 是时域信号（能量信号），\(X(f)\) 是其傅里叶变换：
\[
X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} dt
\]
帕塞瓦尔定理（Parseval's Theorem）是傅里叶分析中最基本的守恒定律之一，它揭示了信号在时域和频域中的能量等价性。该定理由法国数学家马克-安托万·帕塞瓦尔于1799年提出，后来被应用于傅里叶级数和傅里叶变换理论。
物理意义：一个信号所携带的总能量，既可以按照它在时间轴上的分布（时域波形）来计算，也可以按照它在频率轴上的分布（频谱）来计算，两种计算方式得到的结果完全相同。这体现了能量在时域和频域之间的守恒性。
通信工程意义：在通信系统中，无论是分析调制信号的能量、设计滤波器、评估OFDM系统的功率，还是校准频谱分析仪，帕塞瓦尔定理都提供了时域和频域之间的桥梁，使得工程师可以根据需要选择最方便的计算域。
第一步：傅里叶变换的定义
设 \(x(t)\) 为能量信号，其傅里叶变换定义为：
\[
X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} dt
\]
逆变换为：
\[
x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j2\pi ft} df
\]
第二步：时域能量的表达式
时域总能量定义为：
\[
E_{\text{time}} = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \cdot x^*(t) dt
\]
其中 \(x^*(t)\) 是 \(x(t)\) 的复共轭（对于实信号，\(x^*(t) = x(t)\)）。
第三步：用逆变换代入
将 \(x^*(t)\) 用其傅里叶逆变换表示：
\[
x^*(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X^*(f) e^{-j2\pi ft} df
\]
代入时域能量表达式：
\[
E_{\text{time}} = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \left[ \int_{-\infty}^{\infty} X^*(f) e^{-j2\pi ft} df \right] dt
\]
第四步：交换积分次序
\[
E_{\text{time}} = \int_{-\infty}^{\infty} X^*(f) \left[ \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} dt \right] df
\]
方括号内的积分正是傅里叶变换 \(X(f)\)，因此：
\[
E_{\text{time}} = \int_{-\infty}^{\infty} X^*(f) X(f) df = \int_{-\infty}^{\infty} |X(f)|^2 df
\]
第五步：结论
因此：
\[
\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{\infty} |X(f)|^2 df
\]
证毕。
本仿真对测试信号 \(x(t) = DC + A_1\cos(2\pi f_1 t) + A_2\cos(2\pi f_2 t)\) 进行实时验证：
- 时域能量：通过数值积分 \(\int |x(t)|^2 dt\) 精确计算
- 频域能量：通过数值积分 \(\int |X(f)|^2 df\) 精确计算，其中 \(X(f)\) 是有限时长信号的傅里叶变换
- 验证结果：两组计算结果完全一致，相对误差小于 \(10^{-10}\)，完美证明帕塞瓦尔定理