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第3章 随机过程：高斯白噪声统计特性验证

样本越多，统计量越接近理论值（大数定律）。
调整噪声功率，观察高斯分布的展宽与自相关幅度的变化。
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💡 高斯白噪声 (AWGN) 的数学定义

加性高斯白噪声（Additive White Gaussian Noise）是通信系统分析中最基本的噪声模型，其统计特性由三个关键词定义：

1. 高斯 (Gaussian)： 噪声幅度的概率密度函数服从正态分布：

$$p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}$$

2. 白 (White)： 噪声在任意两个不同时刻的取值统计独立（不相关）。其自相关函数是一个冲激函数：$R(\tau) = \sigma^2 \cdot \delta(\tau)$。根据维也纳-辛钦定理，其功率谱密度（PSD）在所有频率上是平坦的常数 $N_0/2$。

3. 加性 (Additive)： 噪声以叠加的方式进入接收信号：$r(t) = s(t) + n(t)$，与信号无关。

AWGN 之所以是通信理论的"地基"，是因为中心极限定理告诉我们：大量独立微小随机因素的叠加（如接收机中电子的热运动）最终会趋向于高斯分布。因此，虽然现实中不存在严格的"白"噪声（带宽无限），但在通信带宽范围内，AWGN 是极为精确的近似。

⚙️ 工程应用：为何 AWGN 是所有通信指标的基石

在通信系统设计中，几乎一切性能度量都基于 AWGN 假设：

  • 热噪声 (Thermal Noise)： 接收机前端放大器中的电子热运动产生高斯白噪声，其功率谱密度为 $N_0 = kT$（$k$ 为玻尔兹曼常数，$T$ 为绝对温度）。这是不可逾越的物理下限。
  • 噪声系数 (Noise Figure)： 衡量接收机自身引入的额外噪声，定义为输入/输出信噪比的比值。NF 越接近 0 dB，接收机越接近理想。
  • $E_b/N_0$——数字通信的"黄金标准"： 每比特能量与噪声功率谱密度的比值，是衡量数字调制方式性能的统一度量。所有 BER 曲线（如 BPSK、QPSK、QAM）都以 $E_b/N_0$ 为横轴。
  • 匹配滤波器的最优性： 可以严格证明：在 AWGN 信道中，使输出信噪比最大化的接收滤波器就是与发送脉冲波形相匹配的匹配滤波器（Matched Filter）。
  • 香农信道容量公式： AWGN 信道的理论极限容量为 $C = B \cdot \log_2(1 + S/N)$ (bps)，这是所有编码和调制方案不可逾越的理论上界。