时域相乘 ⇔ 频域卷积 — 通信调制的数学本质 | 门函数调制完整频谱搬移验证
傅里叶变换调制定理（Modulation Theorem / Frequency Shifting Property）：
\[ x(t) \cdot \cos(2\pi f_c t) \quad \xrightarrow{\mathscr{F}} \quad \frac{1}{2}\left[X(f - f_c) + X(f + f_c)\right] \]更一般地，对于复指数载波：
\[ x(t) \cdot e^{j2\pi f_c t} \quad \xrightarrow{\mathscr{F}} \quad X(f - f_c) \]核心思想：信号在时域与载波相乘，等价于其频谱在频域发生搬移。这是通信系统中频谱搬移（调制/解调）的数学基础。
直观理解：
本实验采用门函数（矩形脉冲）作为基带信号 \(x(t)\)：
\[ x(t) = A \cdot \text{rect}\left(\frac{t}{T}\right) = \begin{cases} A, & |t| \le T/2 \\ 0, & |t| > T/2 \end{cases} \]其傅里叶变换为：
\[ X(f) = A T \cdot \text{sinc}(fT) = A T \cdot \frac{\sin(\pi f T)}{\pi f T} \]根据调制定理，调制后的信号为：
\[ s(t) = x(t) \cdot \cos(2\pi f_c t) \]其频谱为：
\[ S(f) = \frac{A T}{2} \left[ \text{sinc}((f-f_c)T) + \text{sinc}((f+f_c)T) \right] \]下方动态仿真中，蓝色为基带sinc频谱，红色为搬移至 ±f_c 处的sinc频谱，清晰展示了频谱的完整搬移过程。
💡 关键观察：已调频谱（红色）在 -f_c 和 +f_c 处各有一个完整的sinc波形，完全对称。
脉宽 T 越窄，sinc函数展宽越宽（时频对偶性）；改变 f_c 可观察频谱搬移位置变化。
调制定理是通信系统设计的理论基础，其核心价值体现在：
本实验中的门函数展示了傅里叶变换的时频对偶性：
这体现了信号分析中不确定性原理：信号的时域集中程度与频域集中程度不能同时任意小。通过调节上方滑动条中的"门函数脉宽 T"，可以直观观察这一现象：
📌 操作提示：减小 T（脉变窄），观察基带频谱（蓝色）的零点间隔增大，主瓣展宽；
同时已调频谱（红色）在 ±f_c 处的旁瓣也随之展宽，完美体现了时频对偶性。