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卡松公式·单音调频的频谱

窄带FM (β→0)宽带FM (β>>1)
边带间隔 ↓频谱疏密可调

📐 卡松带宽 · 物理本质

FM信号表达式:\( s(t)=A_c\cos[2\pi f_c t + \beta \sin(2\pi f_m t)] \)。频谱包含载波及无穷多对边带,边带幅度由第一类贝塞尔函数 \( J_n(\beta) \) 决定。

卡松公式 \( B_{\text{FM}} = 2(\beta+1)f_m \) 包含约98%信号能量。极限情况:
✧ \( \beta \ll 1 \)(窄带FM):\( B \approx 2f_m \)
✧ \( \beta \gg 1 \)(宽带FM):\( B \approx 2\Delta f = 2\beta f_m \)
本页面通过精确Miller算法计算贝塞尔函数,动态标注卡松带宽范围。

📡 工程应用 & 频谱管理

  • FM广播:\( \Delta f = 75\,\text{kHz}, f_m=15\,\text{kHz} \) → \( \beta=5 \) → 带宽≈180kHz,频道间隔200kHz。
  • 航空/对讲机:窄带FM (\( \beta\approx1\sim2 \)) 带宽12.5kHz,提升频谱利用率。
  • 模拟电视伴音:采用FM,带宽约200kHz,与图像载波精确间距。
  • 预加重设计:根据卡松带宽权衡信噪比与占用带宽。
💡 谱线高度 = \( |J_n(\beta)| \) ,红色虚线为卡松带宽边界。边带幅度小于最大幅度的0.5%时自动截断。