🎛️ 交互仿真 · BPSK 调制
噪声方差 σ² = 1 / (2 * 10^{SNR/10})，标准差影响接收点散布
📌 当前发送比特： 未发送
发送符号 s: —
⚡ 接收样本 r = s + n : —
📐 到 s₀ (-1) 距离²:
—
📐 到 s₁ (+1) 距离²:
—
⚡ 等待传输...
对数似然比 LLR = ln(p(r|s₁)/p(r|s₀)) = —
📊 误码率统计: —
💡 ML证明核心： 高斯噪声下，最大化似然函数 \(p(r|s_i)\) 等价于最小化欧氏距离 \( \|r - s_i\|^2 \)。
🔵 一维信号星座 & 接收点（欧氏距离直观对比）
红色圆点 = 接收样本 r，蓝色方块 = 发送符号候选 (s₀,s₁) 。ML 判决选择距离最近的候选点。
📊 似然函数 \(p(r|s_0)\) 与 \(p(r|s_1)\) (高斯条件概率密度)
两条钟形曲线：均值分别为 -1 和 +1，方差由当前 SNR 决定。接收点 r 处的似然值高度比较 → 最大似然判决。
📐 最大似然译码 (ML) 数学证明
考虑二进制调制 (BPSK)，发送符号 \(s_0 = -1\) (比特0) 或 \(s_1 = +1\) (比特1)。加性高斯白噪声信道 (AWGN) 下，接收信号为 \( r = s + n \)，其中 \( n \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) \)。条件概率密度函数：
\[
p(r|s_i) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(r-s_i)^2}{2\sigma^2}\right)
\]
最大似然准则选择使 \(p(r|s_i)\) 最大的假设 \(i\)。由于分母和指数系数相同，取对数后等价于最小化 \((r-s_i)^2\)，即 最小欧氏距离准则：
\[
\hat{s} = \arg\min_{s_i \in \{-1,+1\}} |r - s_i|^2
\]
判决门限为 0：若 \(r > 0\) 判为 +1，反之判为 -1。本页面交互直接验证： 调整 SNR 观察噪声方差改变似然函数形状，无论 SNR 高低，判决始终依据欧氏距离，且对数似然比符号决定判决结果。
💡 对于高维调制 (QPSK, 16QAM) 及编码系统，Viterbi 译码等均以此为基础，证明 ML 译码在 AWGN 中达到最小错误概率。
⚙️ 工程应用 · 从接收机到5G标准
- 📱 蜂窝通信 (LTE/5G NR)： 基站接收机采用 ML 或近似 ML (如MIMO检测中的球形译码) 从噪声中恢复用户数据，显著提升链路可靠性。
- 🛰️ 卫星与深空通信： 极低信噪比下，ML 软判决译码 (结合卷积码/Turbo码) 实现接近香农极限的性能。
- 📡 无线局域网 (WiFi)： OFDM 接收机利用 ML 准则进行星座点解映射，软比特 LLR 送入 LDPC 译码器获得编码增益。
- 🔊 软判决译码： 实际系统中不直接输出硬比特，而是计算对数似然比 (LLR)，本页面下方 LLR 值直观展示：LLR > 0 判为1，LLR < 0 判为0，绝对值越大置信度越高。
- 🎛️ 雷达检测 & 机器学习： 信号检测领域 ML 是经典假设检验框架，本交互完美复现其核心思想。
👉 右侧动态演示： 改变 SNR 或点击发送，接收点随机扰动，ML 自动选择最近符号，错误仅发生在噪声跨过判决门限时（直观证明）。