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🧩 信道编码原理 · (7,4)汉明码
⚡ 最小汉明距离 dmin=3 ⇒ 能检测2位错误，纠正1位错误 —— 交互式证明
📐 核心定理：线性分组码 (n,k) = (7,4) 生成矩阵 G 和校验矩阵 H 满足 G·HT=0。
接收向量 r = c + e，计算伴随式 s = r·HT，若 s≠0 且重量为1的列可唯一确定错误位置 → 单错可纠正。
✨ 本演示：输入4位信息，编码成7位码字，人为翻转任意1位（模拟信道错误），解码器自动纠正并恢复原始信息。
✍️ 信息位输入 (4 bits)
✅ 解码结果 & 纠错验证
🔹 解码后估计码字 \(\hat{\mathbf{c}}\): -------
🔸 恢复的信息位 \(\hat{\mathbf{u}}\): ----
📊 伴随式 s = r·HT: ---
🎯 错误位置 (若存在): 无错误/已纠正
⚖️ 纠错正确性验证: 等待解码
📐 汉明距离 dmin=3 直观证明: 任意两个不同码字至少有3位不同 → 单错后仍能唯一识别。
生成矩阵 G (4×7) 校验矩阵 H (3×7)
G = [ I₄ | P ] , H = [ Pᵀ | I₃ ]
📖 数学证明：汉明码的单错纠正能力
(7,4)汉明码定义：校验矩阵 \( \mathbf{H} \) 的列由所有非零3位二进制向量构成（按列排列）。
生成矩阵 \( \mathbf{G} = [\mathbf{I}_4 \;|\; \mathbf{P}] \) 满足 \( \mathbf{P} \) 的列对应于校验位。
编码：\( \mathbf{c} = \mathbf{u} \mathbf{G} \)。
伴随式：\( \mathbf{s} = \mathbf{r} \mathbf{H}^T \)。若发送码字 \( \mathbf{c} \)，错误模式 \( \mathbf{e} \) 重量为1，则 \( \mathbf{s} = \mathbf{e} \mathbf{H}^T \) 等于 \( \mathbf{H} \) 中对应错误列，该列唯一标识错误位置。
💡 本演示数值证明：任意改变1位后，通过伴随式检索表可精确还原原始码字，纠正后信息与原始信息一致。若尝试翻转2位，解码将失败或检测出不可纠正错误（演示限单错，体现纠错能力）。
⚙️ 工程应用
- 存储器纠错 (ECC内存)：DRAM芯片使用汉明码检测并纠正单比特翻转，提高可靠性。
- 卫星通信与深空通信：在低信噪比环境下利用汉明码纠正传输错误。
- 无线传感器网络：轻量级前向纠错降低重传开销。
- 数字水印与数据存储：磁记录/闪存中嵌入纠错码保证数据完整性。
- 经典教学范例：汉明码为理解LDPC、Turbo码等现代编码提供了基础。
👇 交互逻辑：先编码获得标准码字 → 选择任意一位翻转（模拟信道单错）→ 解码器通过伴随式计算自动定位并纠正，恢复原始信息。